Физический энциклопедический словарь - потенциалы электромагнитногополя

Ур-ния для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, что упрощает задачу нахождения переменных эл.-магн. полей. Существ. упрощение ур-ний для П. э. п. возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и  выбрать новые потенциалы

где  — произвольная ф-ция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые ур-ниями (1), не изменятся. Инвариантность эл.-магн. поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит назв. к а л и б р о в о ч н о й, или г р а д и е н т н о й, и н в а р и а н т н о с т и. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на П. э. п. дополнит. условие. Обычно таким дополнит. условием явл. условие Лоренца:

где  и  — диэлектрич. и магн. проницаемости среды. При использовании условия (3) ур-ния для П. э. п. в однородной среде (=const, =const), получаемые из ур-ний Максвелла, приобретают одинаковую форму:

здесь =д²/дx²+д²/дy²+д²/дz²— т. н. оператор Лапласа,  и j — плотности заряда и тока, a v=c/ — скорость распространения эл.-магн. поля в среде. Если =0 и j=0, то П. э. п. удовлетворяют волновому уравнению.

Ур-ния (4) позволяют определить потенциалы A и  по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) — и хар-ки эл.-магн. поля В и Е. Частные решения ур-ний (4), удовлетворяющие причинности принципу, наз. з а п а з д ы в а ю щ и м и п о т е н ц и а л а м и. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х', у', z' в предшествующий момент времени =t-R/v, где R=((х-х')²+(у-у')²+(z-z')²)— расстояние от источника поля до точки наблюдения.

Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются интегрированием элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx'dy'dz', с учётом времени запаздывания:

Через П. э. п, выражается Гамильтона функция (Н) заряженной ч-цы, движущейся в эл.-магн. поле:

где р — импульс ч-цы, е и m — её заряд и масса. Соответственно через П. э. п. выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квант. теории.

• См. лит. при ст. Максвелла уравнения.

Г. Я. Мякишев.

580